درسنامه آموزشی فصل نهم ریاضی کلاس هشتم
درس 1: خط و دایره
زاویههای محاطی و مرکزی و ارتباط آنها با کمانها در دایره، کاربرد بسیاری در طراحی نقش فرشها و دیگر صنایع دستی و معماری دارد.
در تصویر بالا نمای داخلی سقف آرامگاه حکیم خیام نیشابوری را مشاهده میکنید. خیام، فیلسوف، ریاضیدان، ستارهشناس و رباعی سرای ایرانی قرن پنجم هجری شمسی است. یکی از برجستهترین کارهای وی اصلاح گاهشماری ایران در زمان وزارت خواجه نظام الملک در دورهٔ سلجوقی است.
فعّالیت (صفحهٔ 138 کتاب درسی)
1- پنج نقطه پیدا کنید که فاصلهٔ هر کدام از نقطهٔ $O$، دو (2) سانتیمتر باشد.
اگر این نقطهها را بیشتر و بیشتر کنیم، چه شکلی ایجاد میشود؟ دایره
2- دو خطِ متمایز در صفحه، یا موازیاند یا متقاطع؛ یعنی یا نقطهٔ مشترکی ندارند یا در یک نقطه، یکدیگر را قطع میکنند.
حالا سه وضعیت مختلف یک خط و یک دایره را رسم کنید و در هر حالت، مشخص کنید که خط و دایره چند نقطهٔ مشترک دارند.
هیچ نقطه مشترک
1 نقطه مشترک
2 نقطه مشترک
3- فاصلهٔ یک نقطه از یک خط، طول کوتاهترین پاره خطی است که آن نقطه را به خط وصل میکند. خط d بر دایرهٔ c به مرکز O و شعاع r مماس است.
کدام پاره خط فاصلهٔ مرکز دایره از خط d را نشان میدهد؟ OD
اندازهٔ این پاره خط را با r مقایسه کنید.
r شعاع دایره است OD = r
4- در هر یک از شکل های زیر، دایره ای به شعاع r رسم کردهایم. فاصلهٔ مرکز دایره از خط d را $\overline{OH}$ بنامید و بدون اندازهگیری، رابطههای زیر را با علامت < ، = یا > کامل کنید.
$r \lt \overline{OH}$
$r=\overline{OH}$
$r \gt \overline{OH}$
کار در کلاس (صفحهٔ 139 کتاب درسی)
1- در هر شکل، کدام پاره خط بر دایره مماس است؟
بر دایره مماس است $AQ\bot OB$
بر دایره مماس است $CE\bot OD$
2- در هر شکل، خط بر دایره مماس است.
زاویهٔ ${{Q}_{1}}$ چه نوع زاویهای است؟ قائمه
${{Q}_{1}}=90{}^\circ $
3- در هر شکل، PQ بر دایره مماس است. اندازه زاویهٔ خواسته شده را پیدا کنید.
$x=180-(90+63)=27{}^\circ $
$x=180-(90+23)=67{}^\circ $
$x=180-(90+47)=43{}^\circ $
فعّالیت (صفحهٔ 139 کتاب درسی)
1- مانند شکل، روی یک ورق کاغذ دایرهای رسم کنید؛ سپس، صفحهٔ دایرهای شکل را با قیچی جدا کنید. دو نقطهٔ A و B را روی دایره قرار دهید.
A را به B وصل کنید. این پاره خط وتر دایره نامیده میشود.
دایره را طوری تا کنید که نقاط A و B روی هم قرار بگیرند.
تای کاغذ را بازکنید.
روی خط تا را با مداد پررنگ کنید. در هندسه به این پاره خط چه میگویند؟ قطر
روی دایره، وتر دیگری رسم کنید و همین مراحل را برای آن تکرار کنید.
دو پاره خط رسم شده، یکدیگر را در چه نقطهای قطع میکنند؟ مرکز
بزرگترین وتر دایره نام دارد.
پاره خطی که دو نقطه از محیط دایره را به هم وصل میکند وتر نام دارد.
2- نتیجهٔ فعّالیت (1) را به کمک شکل روبه رو توضیح دهید.
برای پیدا کردن مرکز یک دایره کافیست محل برخورد عمودمنصفهای دو وتر آن را پیدا کنیم.
3- قطعهای از یک بشقاب قدیمی پیدا شده است. تصویر آن را در شکل روبه رو میبینید.
با توجه به فعّالیتهای قبل، توضیح دهید که چگونه میتوانیم اندازهٔ قطر این بشقاب را مشخص کنیم.
برای پیدا کردن مرکز یک دایره کافیست محل برخورد عمود منصفهای دو وتر آن را پیدا کنیم.
اگر شعاع را 2 برابر کنیم قطر دایره به دست میآید.
4- دایرهای به مرکز O با وتر AB داریم. دو متن زیر را بخوانید و نتیجهٔ هر یک از آنها را کامل کنید.
این دو چه تفاوتی دارند؟ دربارهٔ آن با دوستانتان گفتوگو کنید.
خطی از O بر AB عمود می کنیم و پای عمود را H مینامیم. دو زاویهٔ ${{H}_{1}}$ و ${{H}_{2}}$ قائمهاند؛ پس دو مثلث قائمالزاویه AOH و BOH در حالت وتر و یک ضلع برابرند؛ پس $\overline{AH}=\overline{BH}$
وسط AB را M مینامیم و O را به M وصل میکنیم. $\overline{AM}=\overline{BM}$؛ پس دو مثلث AOM و BOM در حالت سه ضلع با هم برابرند؛ پس ${{\widehat{M}}_{1}}={{\widehat{M}}_{2}}$ و چون حاصل جمع این دو زاویه 180 درجه است، پس هر کدام از آنها 90 درجه است.
نتیجه: خطی که از مرکز دایره بر وتر عمود میشود، آن وتر را نصف میکند.
و بر عکس، پاره خطی که مرکز دایره را به وسط وتر وصل میکند، بر آن عمود است.
کار در کلاس (صفحهٔ 141 کتاب درسی)
1- در هر شکل، RQ بر دایره مماس است. اندازهٔ زاویهٔ مجهول را پیدا کنید.
الف)
$180-(90+29)=61$
$x=61{}^\circ $ب)
$180-(90+69)=21$
$x=21{}^\circ $2- در هر شکل، SR بر دایره مماس است. مقدار a را به دست آورید.
${{a}^{2}}={{8}^{2}}+{{3}^{2}}$
${{a}^{2}}=64+9$
${{a}^{2}}=73$
$a=\sqrt{73}$
${{a}^{2}}={{15}^{2}}-{{12}^{2}}$
${{a}^{2}}=225-144$
${{a}^{2}}=81$
$a=9$تمرین (صفحهٔ 141 کتاب درسی)
1- نقطهٔ B در فاصلهٔ 13 سانتیمتری مرکز دایرهای به شعاع 5 سانتیمتر قرار دارد.
از این نقطه دو مماس بر دایره رسم کردهایم.
فاصلهٔ B از هریک از نقاط تماس را به دست آورید.
${{x}^{2}}={{13}^{2}}-{{5}^{2}}$
${{x}^{2}}=169-25$
${{x}^{2}}=144$
$x=\sqrt{144}=12$${{y}^{2}}={{13}^{2}}-{{5}^{2}}$
${{y}^{2}}=169-25$
${{y}^{2}}=144$
$y=\sqrt{144}=12$اگر از یک نقطه خارج دایره دو مماس بر دایره رسم کنیم طول دو مماس با هم برابر است.
خطی که مرکز دایره را به نقطهٔ B وصل میکند نیمساز زاویه است.2- از نقطهٔ $Q'$ خارج دایرهای به مرکز O دو مماس بر دایره رسم کنید و نقاط تماس را A و B بنامید. شکل بکشید و دلیل هر یک از موارد زیر را بنویسید.
باید ثابت کنیم دو مثلث با همنهشتند.
الف) چرا $\overline{O'A}=\overline{O'B}$؟
ب) چرا $OO'$ نیمساز $\widehat{O}'$ است؟
در نتیجه سایر اجزاء مثلث نیز با هم مساویند پس نتیجه میشود:
$O'A=O'B$
${{O}_{1}}'={{O}_{2}}'$3- در کاسهٔ کروی روبه رو مقداری آب ریختهایم، $\overline{AB}$ برابر 24 سانتیمتر شده است. حداکثر عمق آب چقدر است؟
$O{{C}^{2}}={{20}^{2}}-{{12}^{2}}$
$O{{C}^{2}}=400-144$
$O{{C}^{2}}=256$
$OC=\sqrt{256}=16$$x=20-16=4$
